आँकड़ों का संगठन - 3
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प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से कौनसा विकल्प सही है?
(i) एक वर्ग मध्य बिन्दु बराबर है।
(क) उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा के औसत के
(ख) उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा के गुणनफल के
(ग) उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा के अनुपात के
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:(i) (क)
(ii) दो चरों के बारम्बारता वितरण को इस नाम से जानते हैं।
(क) एक विचर वितरण
(ख) द्विचर वितरण
(ग) बहुचर वितरण
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर: (ii) (ख)
(iii) वर्गीकृत आँकड़ों में सांख्यिकीय परिकलन आधारित होता है।
(क) प्रेक्षणों के वास्तविक मानों पर
(ख) उच्च वर्ग - सीमाओं पर
(ग) निम्न वर्ग - सीमाओं पर
(घ) वर्ग के मध्य बिन्दुओं पर।
(iv) अपवर्जी विधि के अन्तर्गत।
उत्तर: (iii) (प)
(iv) अपवर्जी विधि के अन्तर्गत।
(क) किसी वर्ग की उच्च वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित नहीं करते।
(ख) किसी वर्ग की उच्च वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित करते हैं।
(ग) किसी वर्ग की निम्न वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित नहीं करते हैं।
(घ) किसी वर्ग की निम्न वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित करते हैं।
उत्तर:(iv) (क)
(v) परास का अर्थ है।
(क) अधिकतम एवं न्यूनतम प्रेक्षणों के बीच अन्तर
(ख) न्यूनतम एवं अधिकतम प्रेक्षणों के बीच अन्तर
(ग) अधिकतम एवं न्यूनतम प्रेक्षणों का औसत
(घ) अधिकतम एवं न्यूनतम प्रेक्षणों का अनुपात
उत्तर:(v) (क)
प्रश्न 2. वस्तुओं को वर्गीकृत करने में क्या कोई लाभ हो सकता है? अपने दैनिक जीवन से एक उदाहरण देकर व्याख्या कीजिए।
उत्तर: वस्तुओं को वर्गीकृत करने में अनेक लाभ होते हैं। पदार्थों अथवा वस्तुओं का वर्गीकरण हमारे श्रम और समय को बचाता है। यदि हमने वस्तुओं को वर्गीकृत करके रखा हुआ है तो उसे खोजने में समय खराब नहीं होता तथा श्रम भी कम लगता है। उदाहरण के लिए हमारे विद्यालय के पुस्तकालय को देखें तो वहाँ पर पुस्तकें एक विशेष क्रम में रखी जाती हैं अर्थात् पुस्तकों का विषय के अनुसार वर्गीकरण किया हुआ होता है, विषय के अनुसार पुस्तकें अलग-अलग रखी जाती हैं। यदि हमें कोई अर्थशास्त्र की पुस्तक चाहिए तो हम केवल अर्थशास्त्र समूह में पुस्तक को खोज लेते हैं। इससे हमारे समय तथा श्रम दोनों की बचत होती है।
प्रश्न 3. चर क्या है? एक संतत तथा विविक्त चर में भेद कीजिए।
उत्तर:चर - चर वे तत्त्व होते हैं जिन्हें संख्यात्मक रूप में व्यक्त किया जाता है तथा जिन तथ्यों के मूल्य में परिवर्तन होता रहता है। चरों को दो भागों में वर्गीकृत किया जाता है-
संतत चर एवं विविक्त चर- संतत चर-संतत चर वह होता है जिसका कोई भी संख्यात्मक मान हो सकता है। यह पूर्णांक मान (1, 2,3,4 आदि), भिन्नात्मक मान (1/2, 1/3, 2/3 आदि) थे और फिर 1 से 31 में बदलता है तथा वे मान जो यथातथ्य भिन्न नहीं हैं (जैसे √ 2 = 1 . 414, √ 3 = 1 . 732 आदि) हो सकते हैं।
विविक्त चर: संतत चर के विपरीत विविक्त चर केवल निश्चित मान हो सकते हैं। इसके मान केवल परिमित उछाल से बदलते हैं। यह उछाल एक मान से दूसरे मान के बीच होता है किन्तु इसके बीच में कोई मान नहीं आता है। उदाहरण के लिए किसी कक्षा में छात्रों की संख्या का आकलन करें तो वह पूर्णांक होगी जैसे 45, 55, 60 आदि।
प्रश्न 4. आँकड़ों के वर्गीकरण में प्रयुक्त अपवजी तथा समावेशी विधियों की व्याख्या कीजिए।
उत्तर:अपवर्जी विधि: अपवर्जी विधि के अन्तर्गत आँकड़ों का वर्गीकरण इस प्रकार किया जाता है कि एक वर्ग की उच्च वर्ग सीमा, अगले वर्ग की निम्न वर्ग - सीमा के बराबर होती है, जैसे - 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40 आदि। इस विधि से आँकड़ों की संततता बनी रहती है। यही कारण है कि वर्गीकरण की यह विधि संतत चर के आँकड़ों के लिए अत्यधिक उपयुक्त होती है।
समावेशी विधि - आकड़ों के वर्गीकरण की समावेशी विधि किसी वर्ग अन्तराल में उच्च वर्ग-सीमा को नहीं छोड़ती है। इस विधि में किसी वर्ग में उच्च वर्ग-सीमा को सम्मिलित किया जाता है। अतः दोनों वर्ग सीमाएँ वर्ग अन्तराल का हिस्सा होती हैं। जैसे - 900 999, 1000 - 1099 आदि।
प्रश्न 5. निम्न सारणी के आँकड़ों का प्रयोग करें, जो 50 परिवारों के भोजन पर मासिक व्यय (रु. में) को दिखलाती है, और
(क) भोजन पर मासिक परिवार व्यय का प्रसार ज्ञात कीजिए।
(ख) परास को वर्ग अन्तराल की उचित संख्याओं में विभाजित करें तथा व्यय का बारम्बारता वितरण प्राप्त करें।
उन परिवारों की संख्या पता कीजिए जिनका भोजन पर मासिक व्यय।
(क) 2000/- रु. से कम है।
(ख) 3000/-रु. से अधिक है।
(ग) 1500/- रु. और 2500/- के बीच है।
खाद्य पर 50 परिवारों के मासिक पारिवारिक व्यय ( रु. में )
निम्नलिखित में से कौनसा विकल्प सही है?
(i) एक वर्ग मध्य बिन्दु बराबर है।
(क) उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा के औसत के
(ख) उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा के गुणनफल के
(ग) उच्च वर्ग सीमा तथा निम्न वर्ग सीमा के अनुपात के
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:(i) (क)
(ii) दो चरों के बारम्बारता वितरण को इस नाम से जानते हैं।
(क) एक विचर वितरण
(ख) द्विचर वितरण
(ग) बहुचर वितरण
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर: (ii) (ख)
(iii) वर्गीकृत आँकड़ों में सांख्यिकीय परिकलन आधारित होता है।
(क) प्रेक्षणों के वास्तविक मानों पर
(ख) उच्च वर्ग - सीमाओं पर
(ग) निम्न वर्ग - सीमाओं पर
(घ) वर्ग के मध्य बिन्दुओं पर।
(iv) अपवर्जी विधि के अन्तर्गत।
उत्तर: (iii) (प)
(iv) अपवर्जी विधि के अन्तर्गत।
(क) किसी वर्ग की उच्च वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित नहीं करते।
(ख) किसी वर्ग की उच्च वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित करते हैं।
(ग) किसी वर्ग की निम्न वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित नहीं करते हैं।
(घ) किसी वर्ग की निम्न वर्ग - सीमा को वर्ग अन्तराल में समावेशित करते हैं।
उत्तर:(iv) (क)
(v) परास का अर्थ है।
(क) अधिकतम एवं न्यूनतम प्रेक्षणों के बीच अन्तर
(ख) न्यूनतम एवं अधिकतम प्रेक्षणों के बीच अन्तर
(ग) अधिकतम एवं न्यूनतम प्रेक्षणों का औसत
(घ) अधिकतम एवं न्यूनतम प्रेक्षणों का अनुपात
उत्तर:(v) (क)
प्रश्न 2. वस्तुओं को वर्गीकृत करने में क्या कोई लाभ हो सकता है? अपने दैनिक जीवन से एक उदाहरण देकर व्याख्या कीजिए।
उत्तर: वस्तुओं को वर्गीकृत करने में अनेक लाभ होते हैं। पदार्थों अथवा वस्तुओं का वर्गीकरण हमारे श्रम और समय को बचाता है। यदि हमने वस्तुओं को वर्गीकृत करके रखा हुआ है तो उसे खोजने में समय खराब नहीं होता तथा श्रम भी कम लगता है। उदाहरण के लिए हमारे विद्यालय के पुस्तकालय को देखें तो वहाँ पर पुस्तकें एक विशेष क्रम में रखी जाती हैं अर्थात् पुस्तकों का विषय के अनुसार वर्गीकरण किया हुआ होता है, विषय के अनुसार पुस्तकें अलग-अलग रखी जाती हैं। यदि हमें कोई अर्थशास्त्र की पुस्तक चाहिए तो हम केवल अर्थशास्त्र समूह में पुस्तक को खोज लेते हैं। इससे हमारे समय तथा श्रम दोनों की बचत होती है।
प्रश्न 3. चर क्या है? एक संतत तथा विविक्त चर में भेद कीजिए।
उत्तर:चर - चर वे तत्त्व होते हैं जिन्हें संख्यात्मक रूप में व्यक्त किया जाता है तथा जिन तथ्यों के मूल्य में परिवर्तन होता रहता है। चरों को दो भागों में वर्गीकृत किया जाता है-
संतत चर एवं विविक्त चर- संतत चर-संतत चर वह होता है जिसका कोई भी संख्यात्मक मान हो सकता है। यह पूर्णांक मान (1, 2,3,4 आदि), भिन्नात्मक मान (1/2, 1/3, 2/3 आदि) थे और फिर 1 से 31 में बदलता है तथा वे मान जो यथातथ्य भिन्न नहीं हैं (जैसे √ 2 = 1 . 414, √ 3 = 1 . 732 आदि) हो सकते हैं।
विविक्त चर: संतत चर के विपरीत विविक्त चर केवल निश्चित मान हो सकते हैं। इसके मान केवल परिमित उछाल से बदलते हैं। यह उछाल एक मान से दूसरे मान के बीच होता है किन्तु इसके बीच में कोई मान नहीं आता है। उदाहरण के लिए किसी कक्षा में छात्रों की संख्या का आकलन करें तो वह पूर्णांक होगी जैसे 45, 55, 60 आदि।
प्रश्न 4. आँकड़ों के वर्गीकरण में प्रयुक्त अपवजी तथा समावेशी विधियों की व्याख्या कीजिए।
उत्तर:अपवर्जी विधि: अपवर्जी विधि के अन्तर्गत आँकड़ों का वर्गीकरण इस प्रकार किया जाता है कि एक वर्ग की उच्च वर्ग सीमा, अगले वर्ग की निम्न वर्ग - सीमा के बराबर होती है, जैसे - 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40 आदि। इस विधि से आँकड़ों की संततता बनी रहती है। यही कारण है कि वर्गीकरण की यह विधि संतत चर के आँकड़ों के लिए अत्यधिक उपयुक्त होती है।
समावेशी विधि - आकड़ों के वर्गीकरण की समावेशी विधि किसी वर्ग अन्तराल में उच्च वर्ग-सीमा को नहीं छोड़ती है। इस विधि में किसी वर्ग में उच्च वर्ग-सीमा को सम्मिलित किया जाता है। अतः दोनों वर्ग सीमाएँ वर्ग अन्तराल का हिस्सा होती हैं। जैसे - 900 999, 1000 - 1099 आदि।
प्रश्न 5. निम्न सारणी के आँकड़ों का प्रयोग करें, जो 50 परिवारों के भोजन पर मासिक व्यय (रु. में) को दिखलाती है, और
(क) भोजन पर मासिक परिवार व्यय का प्रसार ज्ञात कीजिए।
(ख) परास को वर्ग अन्तराल की उचित संख्याओं में विभाजित करें तथा व्यय का बारम्बारता वितरण प्राप्त करें।
उन परिवारों की संख्या पता कीजिए जिनका भोजन पर मासिक व्यय।
(क) 2000/- रु. से कम है।
(ख) 3000/-रु. से अधिक है।
(ग) 1500/- रु. और 2500/- के बीच है।
खाद्य पर 50 परिवारों के मासिक पारिवारिक व्यय ( रु. में )
उत्तर:
सर्वप्रथम सारणी को हम आरोही क्रम में लिखेंगे। जिसे नीचे तालिका में लिखा गया है।
सर्वप्रथम सारणी को हम आरोही क्रम में लिखेंगे। जिसे नीचे तालिका में लिखा गया है।
(क) भोजन पर मासिक पारिवारिक व्यय का प्रसार
भोजन पर मासिक पारिवारिक व्यय का प्रसार = उच्च सीमा - निम्न सीमा
= 5090 - 1007
= 4083 रुपये
भोजन पर मासिक पारिवारिक व्यय का प्रसार = उच्च सीमा - निम्न सीमा
= 5090 - 1007
= 4083 रुपये
(ख) परास का वर्ग अन्तराल की उचित संख्याओं में विभाजन तथा व्यय का बारम्बारता में वितरण निम्न प्रकार है।
प्रश्न 6. एक शहर में, यह जानने हेतु 45 परिवारों का सर्वेक्षण किया गया कि वे अपने घरों में कितनी संख्या में सेल फोनों का इस्तेमाल करते हैं। नीचे दिए गए उनके उत्तरों के आधार पर एक बारम्बारता सारणी तैयार कीजिए।
उत्तर:बारम्बारता सारणी बनाने से पूर्व परिवारों द्वारा दिए गए उत्तर के अंकों को आरोही क्रम में रखना होगा जो निम्न प्रकार है।
प्रश्न 7. वर्गीकृत आँकड़ों में सूचना की क्षति' का क्या तात्पर्य है?
उत्तर:बारम्बारता वितरण के रूप में आँकड़ों के वर्गीकरण में एक अन्तर्निहित दोष पाया जाता है। यह अपरिष्कृत आँकड़ों का सारांश प्रस्तुत कर उन्हें संक्षिप्त एवं बोधगम्य तो बनाता है, परन्तु इसमें वे विस्तृत विवरण नहीं प्रकट हो पाते जो अपरिष्कृत आँकड़ों में पाए जाते हैं। दूसरे शब्दों में बारम्बारता वितरण में प्रेक्षणों के वास्तविक मान के स्थान पर वर्ग-चिन्हों के प्रयोग को सांख्यिकीय विधियों में शामिल करने पर पर्याप्त मात्रा में सूचनाओं की क्षति होती है। यद्यपि अपरिष्कृत आँकड़ों को वर्गीकृत करने में सूचना की क्षति होती है, तथापि आँकड़ों को वर्गीकरण द्वारा संक्षिप्त करने पर पर्याप्त जानकारी मिल जाती है।
प्रश्न 8. क्या आप इस बात से सहमत हैं कि अपरिष्कृत आँकड़ों की अपेक्षा वर्गीकृत आँकड़े बेहतर होते हैं?
उत्तर:हम इस बात में पूरी तरह सहमत हैं कि अपरिष्कृत आँकड़ों की अपेक्षा वर्गीकृत आँकड़े बेहतर होते हैं। अपरिष्कृत आँकड़े अत्यधिक अव्यवस्थित होते हैं जो प्राय: अति विशाल होते हैं जिस कारण उन्हें संचालना कठिन होता है तथा अपरिष्कृत आँकड़ों के आधार पर सार्थक निष्कर्ष निकालने के लिए अधिक श्रम की आवश्यकता पड़ती है। इसके विपरीत वर्गीकृत आँकड़े अपरिष्कृत आँकड़ों को संक्षिप्त एवं बोधगम्य बनाते हैं। वर्गीकृत आँकड़े आसानी से चिन्हित किए जा सकते हैं। वर्गीकृत आँकड़ों की तुलना करना व निष्कर्ष निकालना आसान रहता है अत: वर्गीकृत आँकड़े अधिक बेहतर हैं।
प्रश्न 9.एक विचर एवं द्विचर बारम्बारता वितरण के बीच अन्तर बताइए।
उत्तर:एक विचर बारम्बारता वितरण अकेले चर के बारम्बारता वितरण को प्रस्तुत करता है। उदाहरण के लिए किसी छात्र के प्राप्तांक, एक व्यक्ति की आय इत्यादि एक विचर बारम्बारता वितरण है। द्विचर बारम्बारता वितरण दो चरों का बारम्बारता वितरण होता है। उदाहरण के लिए किसी वस्तु की विभिन्न कीमतों पर उसकी माँग के विभिन्न स्तरों को दर्शाने वाली बारम्बारता द्विचर बारम्बारता वितरण कहलाती है।
प्रश्न 10. निम्नलिखित आँकड़ों के आधार पर 7 का वर्ग अन्तराल लेकर समावेशी विधि द्वारा एक बारम्बारता वितरण तैयार कीजिए।
उत्तर:बारम्बारता वितरण के रूप में आँकड़ों के वर्गीकरण में एक अन्तर्निहित दोष पाया जाता है। यह अपरिष्कृत आँकड़ों का सारांश प्रस्तुत कर उन्हें संक्षिप्त एवं बोधगम्य तो बनाता है, परन्तु इसमें वे विस्तृत विवरण नहीं प्रकट हो पाते जो अपरिष्कृत आँकड़ों में पाए जाते हैं। दूसरे शब्दों में बारम्बारता वितरण में प्रेक्षणों के वास्तविक मान के स्थान पर वर्ग-चिन्हों के प्रयोग को सांख्यिकीय विधियों में शामिल करने पर पर्याप्त मात्रा में सूचनाओं की क्षति होती है। यद्यपि अपरिष्कृत आँकड़ों को वर्गीकृत करने में सूचना की क्षति होती है, तथापि आँकड़ों को वर्गीकरण द्वारा संक्षिप्त करने पर पर्याप्त जानकारी मिल जाती है।
प्रश्न 8. क्या आप इस बात से सहमत हैं कि अपरिष्कृत आँकड़ों की अपेक्षा वर्गीकृत आँकड़े बेहतर होते हैं?
उत्तर:हम इस बात में पूरी तरह सहमत हैं कि अपरिष्कृत आँकड़ों की अपेक्षा वर्गीकृत आँकड़े बेहतर होते हैं। अपरिष्कृत आँकड़े अत्यधिक अव्यवस्थित होते हैं जो प्राय: अति विशाल होते हैं जिस कारण उन्हें संचालना कठिन होता है तथा अपरिष्कृत आँकड़ों के आधार पर सार्थक निष्कर्ष निकालने के लिए अधिक श्रम की आवश्यकता पड़ती है। इसके विपरीत वर्गीकृत आँकड़े अपरिष्कृत आँकड़ों को संक्षिप्त एवं बोधगम्य बनाते हैं। वर्गीकृत आँकड़े आसानी से चिन्हित किए जा सकते हैं। वर्गीकृत आँकड़ों की तुलना करना व निष्कर्ष निकालना आसान रहता है अत: वर्गीकृत आँकड़े अधिक बेहतर हैं।
प्रश्न 9.एक विचर एवं द्विचर बारम्बारता वितरण के बीच अन्तर बताइए।
उत्तर:एक विचर बारम्बारता वितरण अकेले चर के बारम्बारता वितरण को प्रस्तुत करता है। उदाहरण के लिए किसी छात्र के प्राप्तांक, एक व्यक्ति की आय इत्यादि एक विचर बारम्बारता वितरण है। द्विचर बारम्बारता वितरण दो चरों का बारम्बारता वितरण होता है। उदाहरण के लिए किसी वस्तु की विभिन्न कीमतों पर उसकी माँग के विभिन्न स्तरों को दर्शाने वाली बारम्बारता द्विचर बारम्बारता वितरण कहलाती है।
प्रश्न 10. निम्नलिखित आँकड़ों के आधार पर 7 का वर्ग अन्तराल लेकर समावेशी विधि द्वारा एक बारम्बारता वितरण तैयार कीजिए।
उत्तर:उपर्युक्त आँकड़ों के आधार पर बारम्बारता वितरण बनाने हेतु सर्वप्रथम आँकड़ों को आरोही क्रम में पुनः लिखना होगा जो निम्न प्रकार हैं1
छात्र अपना स्वंय का मूल्यांकन दिये हुये लिंक में जा कर कर सकते है।
छात्र अपना स्वंय का मूल्यांकन दिये हुये लिंक में जा कर कर सकते है।